Semana 7

REGLA DE LA CADENA

OBJETIVO: aplicar la regla de la cadena en el desarrollo de ejercicios de derivación.

*Aprender varios métodos de derivación para las diferentes funciones.
Si g es una función diferenciable en x y la función h es diferenciable en  entonces, la función compuesta  es diferenciable en x, y su derivada es:

Ejemplo.
Calcule la derivada de la función 

Solución.

            Debemos aplicar el teorema 8 y la regla de la cadena, así:

Derivada implícita

Cuando en la ecuación que define una función, la variable y no aparece despejada en funcion de x, se dice que la función esta definida en forma implícita,

y la ecuaci´on que la define tiene la forma general F(x, y) = 0.

            Existen funciones que no pueden expresarse explícitamente. Por ejemplo, no se puede resolver la ecuación  para y en términos de x. Pueden existir una o más funciones  tales que  cuando esto es así, se dice que la función f  está definida implícitamente.

            Ahora, la derivada de y con respecto a x puede determinarse mediante la diferenciación implícita.

Siendo, hallar 

            Diferenciando ambos miembros con respecto de x y despejando  obtenemos,

Derivadas de la Forma F(x)^g(x)

Solución.

            Apliquemos la fórmula para derivar el logaritmo neperiano de una función y resolvamos las derivadas indicadas.

Dada la función  determine 

Solución.

            Apliquemos la regla de la cadena en cada sumando.

            En efecto,

Derivada de Funciones Paramétricas

Ecuaciones Paramétricas 

En lugar de escribir una curva expresando la coordenada y de un punto P(x, y) de la 

curva en función de x, frecuentemente es más conveniente expresar ambas coordenadas 

en función de una tercera variable. 

x = f (t) y = g(t)

Esta ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones Paramétricas y la variable t

es conocida como el parámetro.

Lo anterior implica resolver la derivada de cada una de las funciones con relación al 

parámetro.

Ejemplo: 

La segunda Derivada seria:

Derivadas de Orden Superior

Sea una función f definida en un cierto intervalo

Entonces, su derivada f' es a su vez otra función definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es 

una función definida en un subconjunto del intervalo Si la función f es diferenciable en todo su dominio, entonces su derivada  se  le llama primera derivada de f o primera función derivada. Si la función  es también diferenciable, entonces la derivada se denomina segunda derivada de f o segunda función derivada… Si continuamos derivando n veces, entonces la derivada  es llamada n- ésima derivada de f. La función f puede representarse como  

            A continuación conoceremos las distintas notaciones para las derivadas de orden superior:

Algunas gráficas serian:

Ejemplo:

EJERCICIOS REALIZADOS EN CASA:  # 40:  literales  a,b,c,d,e  pág 598 Analisis Matematico de Espinoza Ramos.